Posiblemente la teoría de números sea la rama de las matemáticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya sido mayor. Además sus aportaciones a la geometría diferencial, al análisis matemático, a la estadística o a la geodesia son realmente notables.
Gauss descubrió dos métodos para calcular raíces cuadradas de números de 50 cifras decimales y cuentan que encontró pequeños errores en tablas logarítmicas que cayeron en sus manos.
En 1795, dejó el centro donde estudiaba habiendo hecho tantas matemáticas como para terminar una carrera. En esta época comenzaron sus propuestas de aproximación de la función
.Esta función cuenta los números primos menores o iguales a n). Comenzó proponiendo:
para después ajustar más con :
Su gran capacidad para el cálculo le permitió comprobar dicha fórmula hasta n = 3000000.
Después Gauss continuo sus estudios en la Universidad de Göttingen.
Su primer gran resultado fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. A partir de este hecho demostró un resultado más general sobre las construcciones con regla y compás.
Estando en la universidad realizó otros importantes descubrimientos en los que destacan:
1.Inventó la aritmética modular, que sirvió para unificar la teoría de números.
2.Demostró la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada pero no demostrada completamente.
3.Demostró que todo número entero positivo puede expresarse como suma de como mucho tres número triangulares.
Ya en su casa en Brunswick escribió su tesis doctoral.
Como tema central de la misma eligió el teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces complejas.
En la actualidad, su primera demostración no esta aceptada, pero las otras tres del mismo resultado que produjo durante su vida sí son plenamente correctas.
En 1801 publicó su obra Disquisitiones Arithmeticae. En ella, a partir de la aritmética modular, reunió una gran cantidad de resultados relacionados con teoría de números.
Después de esto Gauss añadió la astronomía y la geodesia a su radio de acción, además se interesó por la geometría diferencial, donde demostró su gran resultado en esta rama: el teorema egregium.
Algunos de otros descubrimientos y resultados de Gauss son:
1.El teorema de Gauss-Bonnet
2.El método de Gauss para triangular una matriz
3.El método de Gauss-Seidel
4.El teorema de la divergencia o teorema de Gauss
ALICIA MUÑOZ MELGAR
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